Miscarea giroscopica fara precesie

Autor: ing. Constantin Teodorescu


Articolul "Miscarea giroscopica fara precesie" prezinta analiza surprinzator de simpla si de accesibila a principalelor aspecte ale miscarii giroscopice fara precesie, miscare fundamentala la nivelul structurilor cosmice, atomice si chiar la nivelul aurei umane, pentru a asigura concomitent atât stabilitatea cât si evolutia structurilor. Intelegerea miscarii giroscopice este cheia de bolta a intelegerii Universului si lumii in care traim, dupa cum a demonstrat autorul in studiul "Structura si evolutie".

Cuprins:

1   De ce mişcarea giroscopică?

2   Mişcarea giroscopică fără precesie

2.1  Câmpul scalar al energiei giroscopice fără precesie

2.2  Legea forţei centrifuge

2.3  Pricipiul corelaţiei energetice

2.4  Câmpul vectorial al vitezei de rotaţie liniare

3   Combinarea mişcării giroscopice fără precesie cu mişcarea liniară

3.1  Câmpul vectorial al vitezelor combinate

3.2  Viteza liniară u este rectilinie şi uniformă

3.3  Viteza liniară u este o viteză de rotaţie liniară

1   De ce mişcarea giroscopică?

Pentru că întregul Univers este clădit din două mărimi fundamentale: masa şi energia. Orice structură a Universului conţine fie numai energie, fie energie şi masă. Corpurile sau structurile care conţin şi masă şi energie sânt numite corpuri sau structuri materiale, preluând un termen deja consacrat. Exemple de structuri care conţin numai energie sânt fotonul şi fulgerul globular, iar exemple de structuri care conţin energie şi masă sânt electronul şi Galaxia în care existăm.

Masa şi energia, mărimile fundamentale ale Universului, au tendinţe contradictorii:

-        masa are tendinţa de strângere, de concentrare, iar

-        energia are tendinţa de împrăştiere, de dispersare uniformă în spaţiul înconjurător.

Atât tendinţa de concentrare a masei cât şi tendinţa de împrăştiere a energiei se realizează prin mişcarea acestora. Mişcarea constă în strângerea de energie şi împrăştierea de energie, operaţiuni ce se execută fie succesiv fie concomitent. Chiar mişcarea maselor, în tendinţa lor de strângere, de concentrare, se realizează prin strângerea de energie din mediul înconjurător şi eliminarea de energie în acelaşi mediu înconjurător, pe măsura efectuării mişcării de apropiere, sub acţiunea forţelor de atracţie dintre ele.

Împrăştierea de energie ce se produce de-a lungul mişcării este cunoscută sub numele de lucru mecanic. În mod convenţional spunem că energia care a executat un lucru mecanic a fost consumată, dar, de fapt, energia s-a întors în împrăştierea din spaţiul înconjurător.

Cum în Univers nu există mase sau energii izolate, tendinţele acestora fac imposibilă existenţa stării de repaus şi mişcarea este prezentă în toate structurile existente, indiferent de forma sau mărimea acestora.

Întreaga evoluţie a Universului este rodul mişcărilor produse de tendinţele maselor şi energiilor aflate în diversele zone ale acestuia.

Din mulţimea formelor posibile de mişcare, mişcarea giroscopică s-a impus, ca formă de bază şi universală, pentru că prezintă două proprietăţi contradictorii remarcabile, propietăţi care caracterizează întreaga evoluţie a universului:

-        asigură conservarea în timp a energiei interne a corpului material, prin stabilitatea mişcării şi axei de rotaţie, ceea ce permite evoluţia materiei, şi

-        permite formarea de structuri stabile de corpuri materiale, prin câmpurile de forţe pe care le crează.

Aceste două proprietăţi contradictorii îngemănează într-un tot unitar stabilitatea şi evoluţia: nu este căutată stabilitatea eternă, stabilitatea în sine, ci este realizată acea stabilitate a corpului sau a structurii, care să permită şi evoluţia conformă cu evoluţia sistemului în ansamblu. Stabilitatea şi evoluţia sânt cele două laturi ale existenţei atât la nivel cosmic sau planetar cât şi la nivel atomic. (A se vedea şi postarea "Mişcarea giroscopică cu precesie", tot pe acest blog).

2   Mişcarea giroscopică fără precesie

În corpul material cu mişcare giroscopică, distingem, cu uşurinţă, următoarele câmpuri:

-        câmpul scalar al masei,

-        câmpul scalar al energiei giroscopice,

-        câmpul vectorial al forţei de atracţie şi

-        câmpul vectorial al vitezei de rotaţie liniare.

Considerând corpul material compact şi cu masa uniform distribuită, câmpul scalar al masei şi câmpul vectorial al forţei de atracţie îşi pierd semnificaţia pentru analiza mişcării giroscopice. Astfel, mărimile fizice care caracterizează câmpul scalar al energiei giroscopice şi câmpul vectorial al vitezei de rotaţie liniare sânt suficiente pentru analiza mişcării giroscopice, deoarece au valori bine determinate în tot spaţiul ocupat de corpul material giroscopic.

Vom analiza pe rând, aceste două câmpuri.

2.1  Câmpul scalar al energiei giroscopice fără precesie

Pentru analiza unui câmp scalar, este necesară definirea sau determinarea funcţiei punctului, de forma e_g(m) = e_g(x, y, z), unde m este un element de masă, e_g este energia giroscopică a elementului de masă, iar x, y şi z sânt coordonatele elementului de masă.

Prin energie giroscopică înţelegem energia corpului material proprie mişcării sale giroscopice.

În [1], la “mişcare mecanică”,  şi în [2], paragraful 76, energia giroscopică este exprimată prin relaţia

(1)

unde w este viteza de rotaţie unghiulară, iar I este momentul de inerţie al corpului material faţă de axa de rotaţie. În [1], la “moment de inerţie”,  momentul de inerţie faţă de o axă este exprimat prin relaţia

   (2)

în care m_i sau m este masa unui element de volum al corpului material şi r_i sau r este distanţa faţă de axa de rotaţie.

În figura 1, este considerat un element de masă m dintr-un corp material cu centrul de masă în originea sistemului de coordonate, care execută o mişcare giroscopică cu viteza de rotaţie unghiulară w, în jurul axei 0z. Corpul material giroscopic este considerat de formă sferică, cu raza R, cu masa de densitate constantă distribuită în tot volumul pe care îl ocupă, adică este considerat un corp fără găuri.

Figura 1. Elementul de masa al corpului material giroscopic

Conform relaţiilor (1) şi (2), energia giroscopică e_g a elementului de masă m este exprimată prin relaţia

       (3)

iar continuitatea sa este o consecinţă a continuităţii masei în volumul sferic considerat. Relaţia (3) reprezintă funcţia punctului în câmpul scalar al energiei giroscopice.

2.2  Legea forţei centrifuge

Gradientul funcţiei scalare e_g(x, y, z), conform [3], paragraful 3.2.5,  este vectorul ale cărui componente sânt date de derivatele parţiale pe cele trei coordonate ale funcţiei scalare e_g şi este exprimat prin relaţia

     (4)

unde xi + yj = r_z, raza de rotaţie în jurul axei z.

Relaţia (4) arată că gradientul energiei giroscopice se exprimă printr-o relaţie simplă, cu dependenţă faţă de distanţa la axa de rotaţie.

Gradientul energiei giroscopice a corpului material giroscopic este vectorul care arată sensul şi direcţia de creştere a energiei giroscopice şi este perpendicular, simultan, atât pe axa 0z a giroscopului şi pe vectorul vitezei de rotaţie unghiulare w cât şi pe viteza de rotaţie liniară v a elementului de masă m şi este îndreptat spre exteriorul corpului material, de-a lungul vectorului de poziţie r_z faţă de axa 0z.

Trebuie remarcat că gradientul energiei giroscopice este un vector de forţă, unitatea sa de măsură fiind kg.m/s² şi reprezintă forţa centrifugă, F_c:

F_c = grad e_g = mw²(xi + yj) = mw²r_z.             (5)

Ca mărime, vectorul gradient al energiei giroscopice este proporţional cu masa elementului de masă, cu pătratul vitezei de rotaţie unghiulare w şi cu modulul vectorului de poziţie faţă de axa 0z.

Câmpul vectorial al gradientului energiei giroscopice este un câmp potenţial deoarece:

-        Condiţia necesară şi suficientă ca un câmp vectorial să fie potenţial este ca rotorul acestuia să fie nul, [4], paragraful 110.

-        Conform [3], paragraful 3.2.14 şi [4], paragraful 112, rotorul gradientului este nul, adică

rot grad e_g = 0            (6)

În [3], în partea finală a paragrafului 3.2.16, se arată: “Pentru ca un câmp vectorial a = grad f să fie gradientul unei oarecare funcţii scalare f, este suficient ca rot a = 0. Dacă   rot a = 0, există o asemenea funcţie scalară V = - f astfel ca a = - grad V. Şi dacă funcţia V are valori unice, ea reprezintă potenţialul scalar al vectorului a, vector care este egal cu derivata potenţialului scalar V.

Un asemenea câmp vectorial a se numeşte potenţial şi poate fi descompus în straturi cu ajutorul suprafeţelor de potenţial”.

Cum câmpul vectorial grad e_g este gradientul funcţiei scalare e_g şi, conform relaţiei (6), satisface condiţia   rot grad e_g = 0, pe de o parte, iar funcţia scalară e_g are valori unic determinate de-a lungul razei r_z, pe de altă parte, în conformitate cu cele afirmate în citatul din [3], funcţia

V = - e_g           (7)

reprezintă potenţialul scalar al vectorului grad e_g.

Conform citatului de mai sus din [3], se obţine exprimarea lucrului mecanic efectuat pentru deplasarea unităţii de energie între punctele r_z1 şi r_z2 prin relaţia

L = (V₁ - V₂) = (e_g2 - e_g1)       (8)

Relaţia (8) se obţine şi prin considerarea diferenţialei totale a gradientului energiei giroscopice a corpului material giroscopic, diferenţială care este exprimată prin produsul scalar al vectorilor grad e_g şi dr_z. Integrala produsului scalar al vectorilor grad e_g şi r_z, de-a lungul razei r_z, reprezintă lucrul mecanic necesar pentru a deplasa energia e_g de-a lungul razei r_z. Prin integrare se obţine

L(r_z) = e_g(r_z)                 (9)

Prin urmare:

-        Câmpul vectorial al gradientului energiei giroscopice, grad e_g, este un câmp vectorial potenţial, iar potenţialul său, într-un punct oarecare, este egal cu energia giroscopică din punctul considerat, luată cu semnul minus.

-        Lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea energiei giroscopice de-a lungul razei r_z este egal cu energia giroscopică de la capătul razei r_z.

Revenind la relaţia (5), observăm că, prin înmulţirea şi împărţirea cu r_z şi ţinând seama de relaţia (3), aceasta, în modul, devine

      (10)

relaţie de importanţă covârşitoare, care exprimă legea universală a producerii şi dependenţei forţei centrifuge a energiei giroscopice de energia care se roteşte.

Cum produsul F_cr_z reprezintă lucrul mecanic efectuat de forţa centrifugă, rezultă că mărimea 2e_g reprezintă energia consumată atât pentru deplasarea energiei e_g pe distanţa r_z cât şi pentru rotirea acesteia, împreună cu elementul de masă m, în jurul axei z, cu viteza w.

Conform relaţiei (9), lucrul mecanic necesar pentru deplasarea energiei e_g pe distanţa r_z este egal cu însăşi energia giroscopică e_g.

Ţinând seama de faptul că un e_g reprezintă lucrul mecanic pentru deplasarea energiei giroscopice de-a lungul razei r_z, celălalt e_g de la numărătorul relaţiei (10) reprezintă lucrul mecanic necesar pentru rotirea energiei giroscopice e_g pe arcul de cerc de lungimea razei r_z, împreună cu elementul de masă. Cum întreaga circumferinţă are lungimea 2pr_z, rezultă că lucrul mecanic necesar pentru rotirea energiei giroscopice e_g pe tot cercul de rază r_z, împreună cu elementul de masă, este egal cu 2pe_g, adică din relaţia (10) rezultă şi relaţiile:

   (11)

Relaţiile (11), pe lângă faptul că exprimă lucrul mecanic necesar rotirii energiei giroscopice e_g a elementului de masă atât pe arcul de rază r_z cât şi pe circumferinţa 2pr_z, ne mai dezvăluie un aspect deosebit de important: dacă energia giroscopică este constantă, atunci şi lucrul mecanic necesar rotirii acesteia este constant indiferent de mărimea razei de rotaţie. Cu alte cuvinte, un element de energie e va fi rotit pe o circumferinţă de orice rază cu acelaşi lucru mecanic 2pe. Rezultă că în interiorul circumferinţei există un gol de energie, conform [4], paragraful 72, ceea ce este adevărat: de-a lungul axei z, energia giroscopică este nulă.

Reţinem această concluzie: În mişcarea giroscopică, de-a lungul axei de rotaţie există o gaură de energie, fapt demonstrat în capitolul 5 din [5], pentru oricare structură de energie. (A se vedea şi postarea "Mişcarea de rotaţie", tot pe acest blog).

2.3  Principiul corelaţiei energetice

Relaţia (3) arată că oricărui element de masă al corpului material cu mişcare giroscopică îi corespunde o energie giroscopică de valoare strict determinată de poziţia elementului de masă faţă de axa de rotaţie: cu cât este mai depărtat de axa de rotaţie, cu atât este mai mare energia giroscopică a elementului de masă, aceasta fiind direct proporţională cu pătratul razei de rotaţie r_z, distanţa elementului la axa de rotaţie.

Să presupunem că, dintr-o cauză oarecare, energia giroscopică a unui element de masă al corpului material giroscopic s-a modificat de la valoarea e_g la valoarea e_g1, adică:

   (12)

Conform relaţiilor (3), (5) şi (10), rezultă că

   (13)

ceea ce conduce la implicaţia

   (14)

Forţa centrifugă F_ce1 ¹ F_ce   
va acţiona asupra elementului de masă astfel încât poziţia acestuia faţă de axa de rotaţie r_z1 să satisfacă relaţia (11).

Prin urmare, conform relaţiei (11), modificarea energiei giroscopice a unui element de masă al corpului material giroscopic implică:

-        fie modificarea razei de rotaţie a acestuia până la valoarea corespunzătoare noii valori a energiei giroscopice, dacă poziţia elementului de masă este mobilă,

-        fie armonizarea noii valori a energiei sale giroscopice cu energiile giroscopice ale elementelor de masă din vecinătatea sa, prin disipare sau absorbţie, dacă poziţia elementului de nasă este fixă.

Pe baza acestor constatări, desprindem principiul corelaţiei energetice: În mişcarea giroscopică, corelaţia poziţiilor diferitelor elemente de masă ale corpului material giroscopic devine şi corelaţia energiilor giroscopice ale acestora.

Elementele de masă ale corpului material giroscopic, conform principiului corelaţiei energetice, reacţionează în funcţie de gradele lor de libertate de a se deplasa în cadrul corpului şi desprindem modul de reacţie în concluziile:

1.      Elementul de masă cu grade de mobilitate, la modificarea energiei sale giroscopice faţă de energia corespunzătoare poziţiei ocupate în cadrul corpului, sub acţiunea forţei centrifuge modificate, se va deplasa într-o nouă poziţie corespunzătoare energiei giroscopice modificate.

2.      Elementul de masă cu poziţie fixă, fără grade de mobilitate, neputându-şi modifica poziţia, îşi va modifica energia giroscopică prin disipare sau prin absorbţie, în corelaţie directă cu elementele de masă din vecinătatea sa.

Nota 1: Aplicarea principiului corelaţiei energetice la planeta noastră este făcută în postarea „Clima terestră şi ciclurile ei”, pe prezentul blog.

2.4  Câmpul vectorial al vitezei de rotaţie liniare

În fiecare punct al spaţiului ocupat de corpul material giroscopic, vectorul vitezei de rotaţie liniare v are mărimea, direcţia şi sensul strict determinate.

Un câmp vectorial este caracterizat de linii vectoriale. Prin linie vectorială se înţelege o curbă (L) a cărei tangentă, în fiecare punct, are direcţia vectorului de definiţie a câmpului.

În cazul câmpului vectorial al vitezei de rotaţie liniare v, liniile vectoriale sânt cercuri de rază r_z, cu centrul pe axa z, deoarece v este tangentă la cerc, în fiecare punct al acestuia, ca în figura 1. Adică, liniile vectoriale ale câmpului vectorial al vitezei de rotaţie liniare v sânt conţinute în suprafeţele de nivel constant al energiei giroscopice, deci, implicit, sânt conţinute şi în suprafeţele echipotenţiale ale câmpului vectorial al gradientului energiei giroscopice, grad e_g.

Componentele vitezei liniare de rotaţie, conform figurii 2, sânt date de relaţiile:

     (15)

unde j este unghiul de rotaţie. 

Figura 2.  Componentele vitezei de rotaţie liniare.

Divergenţa câmpului vectorial al vitezei liniare de rotaţie, conform [3], paragraful 3.2.11 şi [4], paragraful 109, este dată de suma derivatelor parţiale ale componentelor pe axele de coordonate. Cum derivatele parţiale ale fracţiei 1/r_z faţă de coordonatele x şi y sânt identice, semnele diferite ale componentelor v_x şi v_y anulează suma lor, astfel că se obţine

div v = 0,        (16)

din care rezultă că, divergenţa fiind nulă, câmpul vectorial al vitezei de rotaţie liniare v nu crează câmpul scalar al propriei divergenţe şi, ca atare, nu are nici flux prin suprafaţă. Conform [3], paragraful 3.2.18, şi [4], paragraful 110, câmpul vectorial a cărui divergenţă este nulă este un câmp solenoidal.

Între vitezele de rotaţie unghiulară, w, şi liniară, v, există relaţia vectorială

v = w.r_z,         (17)

unde r_z este vectorul de poziţie faţă de axa z, iar w×r_z este produsul vectorial al celor doi vectori. Din relaţia vectorială (17), rezultă relaţia scalară

v = wr_z.           (18)

Să mai remarcăm şi faptul că expresia rotorului vitezei liniare de rotaţie este

rot v = 0.i + 0.j + (v/r_z + v/r_z)k = 2wk.          (19) 

3   Combinarea mişcării giroscopice fără precesie cu mişcarea liniară

3.1  Câmpul vectorial al vitezelor combinate

Să analizăm şi cazul când corpul material giroscopic execută simultan cu mişcarea giroscopică fără precesie şi o mişcare liniară de viteză u, conform figurii 3.

Figura 3.  Mişcarea giroscopică însoţită de mişcarea liniară u.

 

Exprimăm viteza u prin componentele sale faţă de axele de coordonate x, y, z:

u = u_x i + u_y j + u_z k  =  (u cosa)i + (u cosb)j + (u cosg)k,      (20)

unde a, b şi g sânt unghiurile pe care viteza liniară u le face cu axele de coordonate x, y, z.

Elementul de masă m, supus simultan vitezelor liniare v şi u, se va mişca după rezultanta acestora w. Conform relaţiilor (15) şi (20),

w = [v sinj + u cosa]i + [v cosj + u cosb)j + (u cosg)k.       (21)

Modulul vectorului w se obţine din produsul scalar al acestuia cu el însuşi:

w² = [v sin j + u cosa]² + [v cos j + u cosb]² + (u cosg)².      (22)

După efectuarea calculelor, rezultă

w² = v² + u² + 2vu[sinj cosa + cosj cosb],              (23)

deoarece conform [6], pag. 218,         cos²a + cos²b + cos²g = 1.

Relaţia (23) arată că viteza rezultantă w a elementului de masă al corpului material giroscopic are valori diferite de-a lungul circumferinţei de rotaţie, în funcţie de poziţia faţă de sistemul de coordonate j şi r şi în funcţie de unghiurile a şi b pe care viteza u le face cu axele de coordonate x şi y. Aceasta înseamnă că viteza u produce tensiuni în corpul material giroscopic, prin tendinţe de regrupare.

Pentru a clarifica forma tensiunilor provocate de viteza liniară u în corpul material giroscopic, în [5], tabelele 2.2.1 şi 2.2.2 din subcapitolul 2.2, a fost evaluată valoarea parantezei din membrul drept al relaţiei (23), în funcţie de valorile unghiurilor j, a şi b.

S-a observat că variaţia vitezei rezultante w, de-a lungul unei rotaţii complete a corpului material giroscopic, are forma unei sinusoide cu valoarea maximă w = v + u şi cu valoarea minimă w = v – u.

Această variaţie depinde doar de valorile vitezelor liniare v şi u şi nu depinde de direcţia vitezei liniare u. Cu schimbarea direcţiei vitezei liniare u se modifică doar faza variaţiei sinusoidale.

Pe lângă variaţia sinusoidală a vitezei rezultantei w, viteza liniară u produce şi modificarea continuă a direcţiei acesteia. Acest fapt este ilustrat pe figura 4.

Figura 4. Devierea vitezei rezultante w de către viteza liniară u.

 

Din figură rezultă că, pe intervalul (3p/2, p/2), viteza rezultantă w este deviată spre exteriorul corpului material giroscopic, iar pe intervalul (p/2, 3p/2), viteza rezultantă w este deviată spre interiorul corpului material giroscopic. Datorită acestor devieri diferite ale vitezei rezultante w pe cele două intervale, vitezele rezultante ale elementelor de masă dispuse simetric pe cercul m nu au direcţii paralele. Paralelismul vitezelor rezultante este realizat doar de elementele de masă dispuse simetric în punctele pentru care j = p/2 şi j = 3p/2.

Pe baza celor arătate mai sus, în [5], în subcapitolul 2.2, s-au înserat notele 2.2.1 şi 2.2.2, cu următorul conţinut:  „Nota 2.2.1: Mişcarea Pământului pe orbită în jurul Soarelui, prin tensiunile pe care le produce în interiorul său, reprezintă una dintre principalele cauze (dacă nu singura) ale mişcărilor tectonice, ale fluxului şi refluxului, care sânt maxime în zona ecuatorială şi sânt minime în zonele polare.” Şi „Nota 2.2.2: Forma spiralată a galaxiilor este o consecinţă a mişcării liniare a acestora, simultană cu mişcarea lor giroscopică.”

La aceste note reproduse din [5], mai adăugăm remarca:

Nota 2: Fenomenul vitezelor combinate a fost aplicat în capitolul 12 din studiul „Structură şi evoluţie”, în paragraful 12.3 „Câmpul magnetic terestru”, care demonstrează producerea şi ciclicitatea câmpului magnetic terestru,  şi în paragraful 12.4 „Clima terestră şi ciclurile ei”. Ambele paragrafe sânt postate pe blog, cu denumirile repective.

Divergenţa câmpului vectorial w este dată de relaţia

div w = div v + div u = div u,                        (24)

deoarece divergenţa vectorului v este nulă, conform relaţiei (16). Divergenţa vectorului u depinde, evident, de expresiile componentelor acestuia în funcţie de coordonatele x, y, z.

Rotorul vectorului w = v + u, conform [6], pag. 543, este dat de relaţia

rot w = rot (v + u) = rot v + rot u.      (25)

Este evident că relaţiile concrete ale divergenţei şi rotorului câmpului vectorial w, relaţiile (24) şi, respectiv, (25), depind de exprimarea componentelor u_x, u_y şi u_z în funcţie de coordonatele x, y şi z. Din mulţimea cazurilor posibile de manifestare a vitezei liniare u, vom analiza două cazuri:

-        viteza liniară u este o viteză rectilinie şi uniformă şi

-        viteza liniară u este o viteză de rotaţie liniară şi uniformă.

3.2  Viteza liniară u este rectilinie şi uniformă

Din condiţia ca viteza liniară u să fie rectilinie şi uniformă, care presupune că atât direcţia şi sensul cât şi modulul |u| sânt constante, rezultă că toate cele trei componente u_x, u_y şi u_z sânt constante nu numai în timp ci şi în cadrul sistemului de coordonate 0xyz. Componentele u_x, u_y şi u_z fiind constante, derivatele lor sânt nule şi, în consecinţă,

div u = 0,        rot u = 0,         (26)

ceea ce conduce la simplificarea relaţiilor (24) şi (25), care devin

div w = div u = 0;       rot w = rot v.               (27)

Prin urmare, analiza făcută în paragraful precedent şi toate cocluziile desprinse din aceasta rămân valabile şi în cazul acţiunii concomitente a unei viteze liniare şi uniforme u, asupra corpului material giroscopic. Viteza liniară şi uniformă u modifică forma circulară a liniilor vectoriale, dar nu modifică comportarea vectorială a câmpului vitezei de rotaţie liniare v.

3.3  Viteza liniară u este o viteză de rotaţie liniară

În acest caz, asupra corpului material giroscopic acţionează două viteze de rotaţie liniare, v şi u, simultan, aşa cum se întâmplă în cazul mişcării unei planete în jurul unui corp central.

Să presupunem că viteza u este o viteză de rotaţie circulară, deci unuformă, cu viteza unghiulară w₁. Conform relaţiei (19),

rot u = 2w₁k.   (28)

iar relaţia (25) devine

rot w = rot v + rot u = 2(w + w₁)k = 2Wk,     (29)

unde

W = w + w₁.               (30)

Relaţia (30) arată că vitezele u, rotitoare cu viteza unghiulară w₁, şi v, rotitoare cu viteza unghiulară w, au efecte similare asupra corpului meterial giroscopic, iar efectul total este un efect cumulativ, deoarece w || w₁.

În cazul în care viteza de rotaţie u nu este circulară şi uniformă, atunci vitezele w şi w₁ nu mai sânt paralele. Cum vitezele de rotaţie unghiulară w şi w₁ ,nu sânt paralele, nu vor fi paralele nici axele în jurul cărora se execută rotaţiile k₁ diferită de k, ceea ce înseamnă că mişcarea de rotaţie necirculară şi neuniformă cu viteza liniară u induce corpului material giroscopic, o mişcare de precesie de viteză unghiulară w₁. Dar, cu introducerea noţiunii de mişcare giroscopică cu precesie, se trece la un alt tip de mişcare giroscopică, care va fi analizată într-o altă postare. (A se vedea postarea "Mişcarea giroscopică cu precesie", tot pe acest blog).

Bibliografia:

1  ION DIMA (coordonator): Dicţionar de fizică. Editura enciclopedică română, Bucureşti, 1972.

2  MIRCEA DRĂGANU: Introducere matematică în fizica teoretică modernă. Vol. 1. Editura tehnică, Bucureşti, 1957.

3  ANDRE ANGO: Matematika dlia electro - i radioinjenerov. Perevod s franţuscovo (André ANGOT). Izdatelstvo “Nauka”. Glavnaia redakţia fizico – Matematiceskoi literaturî. Moscva, 1967.

4  V. I. SMIRNOV: Kurs vâsşei matematiki. Tom vtoroi. Gosudarstveno izdatelstvo tehniko –

    teoreticeskoi literaturî.  Moskva, 1953.

5  CONSTANTIN TEODORESCU: Structură şi evoluţie. Editura MATRIX ROM. Bucureşti 2014. Ediţia a 3 – a revizuită şi adăugită.

6  BRONŞTEIN I.N. şi SEMENDIAEV K. A.: Spravocinik po matematike dlia injenerov i uciaşcihsia vtuzov. Izdatelstvo “Nauka”. Moskva 1964.