Mişcarea de rotaţie a energiei

Autor: ing. Constantin Teodorescu

Articolul "Mişcarea de rotaţie" reia a doua parte a capitolului "13 Mişcarea. Legi, principii şi caracteristici" din studiul "Structură şi evoluţie" şi prezintă mişcarea de rotaţie a masei şi a energiei într-o concepţie originală.

Cuprins:

1  Mişcarea de rotaţie a masei
2  Mişcarea de rotaţie a energiei

1  Mişcarea de rotaţie a masei

Mişcarea de rotaţie a masei a fost pe larg analizată în subcapitolele 2.2. şi 2.3 din [1], în care au fost analizate mişcarea giroscopică fără precesie şi mişcarea giroscopică cu precesie. (A se vedea şi postarea „Mişcarea giroscopică fără precesie” de pe blogul www. Structura si evolutie. Blogspot.com ).

Cum mişcarea circulară este conţinută în mişcarea giroscopică fără precesie, care este o multiplicare continuă a acesteia, şi cum mişcarea pe o curbă este o mişcare circulară cu raza de rotaţie continuu variabilă, considerăm că analizele din subcapitolele 2.2 şi 2.3 din [1] sânt acoperitoare şi suficiente atât pentru mişcarea circulară cât şi pentru mişcarea pe o curbă oarecare a masei.

2  Mişcarea de rotaţie a energiei

Mişcarea de rotaţie a structurii de energie a fost pe larg analizată în capitolul 5 din [1] şi, pentru a desprinde legile şi principiile rotaţiei energiei, va fi folosită sinteza acelei analiza.

În paragraful 2.2.3 din subcapitolul 2.2 din [1], a fost demonstrată legea forţei centrifuge, prin relaţia (2.2.31). Printr-un raţionament extrem de simplu, dar concludent, s-a arătat că la producerea oricărei rotaţii de energie, apare o forţă centrifugă egală cu raportul dintre dublul energiei ce se roteşte şi raza de rotaţie. (A se vedea şi postarea „Legea forţei centrifuge” de pe blogul www. Structura si evolutie. Blogspot.com ).

Prin urmare, cu privire la apariţia forţei centrifuge la orice iniţiere a unei mişcări de rotaţie a energiei nu mai poate fi nici un dubiu. De asemenea, nu poate exista nici un dubiu nici asupra relaţiei (2.2.31), care exprimă forţa centrifugă prin raportul dintre dublul energiei ce se roteşte şi raza de rotaţie.

În primul paragraf al capitolului 5, a fost analizat, prin comparaţie, caracterul acţiunii forţei centrifuge asupra elementului de masă şi asupra elementului de energie, în mişcarea giroscopică. Forţa centrifugă care acţionează asupra elementului de masă m, dată de relaţia (2.2.30) din [1], pe care o reluăm 

      (1)

unde  este viteza unghiulară de rotaţie. Forţa centrifugă fiind direct proporţională cu raza r_z, creşte cu depărtarea de axa de rotaţie, cu creşterea lui r_z, manifestându-se ca o forţă progresivă.

În schimb, forţa centrifugă care acţionează asupra elementului de energie, relaţia (2.2.31) din [1], pe care de asemenea o reluăm,

     (2)

fiind invers proporţională cu raza r_z, creşte cu apropierea de axa de rotaţie, cu micşorarea lui r_z, manifestându-se ca o forţă regresivă, şi tinde către infinit în imediata apropiere a axei de rotaţie. Ca urmare, din cauza forţei centrifuge infinit de mari în apropierea axei de rotaţie, energia aflată în această zonă va fi aruncată spre exterior, formând un inel lipsit de energie, în jurul axei de rotaţie.

Situaţia pare ciudată: cum aceeaşi forţă poate fi şi progresivă şi regresivă simultan? Nu, nu e vorba ca forţa centrifugă să fie simultan progresivă şi regresivă, ci e vorba de acţiunea forţei centrifuge fie asupra unei energii giroscopice fără masă, fie asupra unei mase aflată în mişcare giroscopică.

În rotaţia energiei, care este cumulativă, lucrul mecanic efectuat pentru o rotaţie completă a energiei giroscopice este egal cu 2pe_g, conform relaţiei (2.2.32) din [1], indiferent de raza rotaţiei. Rezultă că densitatea de energie giroscopică consumată de-a lungul arcului cu lungimea de un radian (egal cu raza de rotaţie) creşte pe măsura micşorării razei de rotaţie, adică creşte raportul e_g/r_z, ceea ce fireşte duce la creşterea forţei centrifuge pe măsura micşorării razei de rotaţie.

Referitor la masă, forţa centrifugă creată de rotaţia energiei nu se aplică masei, ci energiei masei care se roteşte. Dar energia masei care se roteşte este direct proporţională cu pătratul vitezei de rotaţie liniară v, iar modulul vitezei v creşte odată cu mărirea razei conform cunoscutei relaţii v = r, 
 fiind constant. Astfel, mărirea razei duce la mărirea forţei centrifuge şi aparenta ciudăţenie devine ceva firesc.

Pe baza relaţiei forţei centrifuge (2.2.31) din [1], reluată mai sus ca relaţia (2), în paragraful 5.2 al capitolului 5 din [1], s-a demonstrat că forţa centrifugă este componenta în planul (xy) a gradientului funcţiei scalare a unghiului polar f = e, în care e este elementul de energie al energiei ce se roteşte.

În paragraful 5.3 din capitolul 5 din [1], s-a demonstrat că potenţialul scalar al gradientului funcţiei scalare a unghiului polar f = e este funcţia cu semnul schimbat V = – e, pe de o parte, şi că funcţia V este o funcţie cumulativă cu constanta ciclică k_c = –2pe, pe de altă parte. Totodată, potenţialul scalar V reprezintă lucrul mecanic efectuat (energia consumată) pentru rotirea elementului de energie e, constanta ciclică k_c = –2pe reprezentând lucrul mecanic efectuat pe conturul închis, adică de-a lungul unei circumferinţe. Deci, potenţialul scalar al vectorului grad f, V = -e, reprezintă energia consumată pentru ca elementul de energie e să execute mişcarea giroscopică de unghi polar . Aceasta însemnă că mişcarea giroscopică a elementului de energie e, cu o viteză unghiulară de rotaţie  constantă, este posibilă numai în condiţiile compensării integrale a energiei consumate V, adică energia giroscopică a elementului de energie e, care a fost notată cu e_g(e), să fie continuu cel puţin egală cu energia consumată V. Din această egalitate, s-au obţinut relaţiile energiei giroscopice a elementului de energie e, sub forma relaţiilor (5.31) din [1], dintre care reţinem formele

    (3)

Energia giroscopică a elementului de energie e, ca funcţie a unghiului polar , este identică cu funcţia scalară f, are acelaşi gradient cu funcţia f , relaţia (5.32) din [1], adică

   (4)

iar gradientul are divergenţa şi rotorul nule.

Să mai remarcăm că, asemenea funcţiei f, şi energia giroscopică a elementului de energie e este o funcţie cumulativă cu constanta ciclică egală dar de semn schimbat ca a potenţialului scalar V, adică k_eg = – k_c = 2pe.

Ajunşi aci, considerăm binevenită şi o comparaţie a mişcărilor giroscopice ale corpului material şi ale energiei. Spre deosebire de energia giroscopică a elementului de masă, e_g(m), relaţia (2.2.3) din subcapitolul 2.2 din [1], care este direct proporţională cu pătratul vitezei de rotaţie unghiulare, , şi cu pătratul razei de rotaţie, r_z, şi este constantă atâta vreme cât  şi r_z sânt constante, energia giroscopică a elementului de energie, e_g(e), este direct proporţională cu unghiul de rotaţie, adică cu viteza de rotaţie unghiulară  înmulţită cu durata mişcării de rotaţie, indiferent de distanţa faţă de axa de rotaţie la care se află elementul de energie e. Acest aspect arată că mişcarea giroscopică a unei structuri de energie se produce în mod diferit faţă de mişcarea giroscopică a unui corp material.

În schimb, forţa centrifugă are aceeaşi comportare şi în mişcarea giroscopică a corpului material şi în mişcarea giroscopică a energiei. Cu alte cuvinte, se poate vorbi de principiul identităţii comportării forţei centrifuge atât în mişcarea de rotaţie a corpurilor materiale cât şi în mişcarea de rotaţie a energiei. Explicaţia principiului este simplă şi rezultă din faptul că, în mişcarea de rotaţie a corpului material, nu rotirea elementului de masă produce forţa centrifugă, ci aceasta este produsă de rotirea energiei giroscopice a elementului de masă, deci tot de rotirea energiei.

În paragraful 5.5 din capitolul 5 din [1], a fost determinat potenţialul vectorial al gradientului energiei giroscopice a structurii de energie, prin relaţia (5.57), adică

  (5)

Vectorul c(e), pe lângă faptul că este perpendicular pe vectorul grad e_g(e), are ca rotor tocmai pe gradientul energiei giroscopice, adică grad e_g(e) = rot c(e), conform relaţiei (5.58) din [1], şi are şi divergenţa identic egală cu zero, adică div c(e) = 0.

Potenţialul vectorial al gradientului energiei giroscopice, vectorul c(e), are semnificaţia forţei centrifuge în structura de energie, relaţia (5.66) din [1], adică

  (6)

Forţa centrifugă variază, în plan vertical, cu factorul  [r_z ctg]. În planul ecuatorial, pentru  = /2, factorul de variaţie ia valoarea 1şi forţa centrifugă are valoarea minimă.   Iar pentru   0 sau          , factorul de variaţie tinde către infinit, deoarece sin  0, iar cos tinde la  1. Evident, valoarea infinit nu se atinge deoarece pentru valorile  tinde la 0 sau  tinde la p, se pătrunde în gaura din jurul axei z.

Iată deci că, în mişcarea giroscopică a structurii de energie, forţa centrifugă variază nu numai cu depărtarea de axa de rotaţie, ci şi cu depărtarea de planul ecuatorial al mişcării.

Totodată, să observăm că, după cum rezultă din relaţiile (5) şi (6), energia giroscopică a elementului de energie e se amplifică cu factorul (z + 1), mărindu-se odată cu depărtarea de planul ecuatorial al mişcării giroscopice. În consecinţă, relaţia (3), care exprimă energia giroscopică a elementului de energie e, este adevărată numai în planul ecuatorial al mişcării giroscopice, adică pentru z = 1. Prin urmare, expresia generală a energiei giroscopice a elementului de energie e, în mişcarea giroscopică a structurii de energie, trebuie să fie amplificată cu factorul (z + 1), ca în relaţia:

   (7)

Relaţia (7) ne permite constatarea că energia giroscopică a structurii de energie are două componente dimensional diferite: o componentă de energie pură e, măsurată în J (joule) şi o componentă de energie care depinde de coordonata z şi este măsurată în J.m, notată e_z. Cu toate acestea, expresia    e(z + 1) reprezintă o mărime unitară a energiei giroscopice, componenta e_z fiind sporul de densitate a energiei giroscopice dat de depărtarea de planul ecuatorial.

Această constatare are o importanţă deosebită deoarece arată că, într-o structură cu straturi de energie succesive, densitatea stropilor de energie e_z creşte proporţional cu distanţa stratului z faţă de stratul de referinţă z = 0.

În subparagraful 5.5.3 din capitolul 5 din [1], a fost determinat lucrul mechanic efectuat de forţa centrifugă şi a fost obţinută relaţia (5.73), care este reprodusă:

    (8)


Primul termen al relaţiei (8) este identic cu constanta ciclică şi reprezintă lucrul mecanic efectuat de forţa centrifugă pentru o rotire completă a energiei giroscopice, iar al doilea termen reprezintă lucrul mecanic efectuat de forţa centrifugă pentru deplasarea energiei giroscopice de-a lungul razei de rotaţie r_z, ceea ce corespunde şi relaţiilor (2.2.32) din [1] şi (7).

În paragraful 5.6 din capitolul 5 din [1], s-a considerat că pentru asigurarea stabilităţii structurii de energie, asupra energiei giroscopice a acesteia, pe lângă forţa centrifugă, trebuie să acţioneze şi o forţă de atracţie cu următoarele caracteristici:

-        să echilibreze dinamic acţiunea forţei centrifuge, pentru toate elementele de energie ale structurii,

-        să unească elementele structurii într-o structură unitară, în care toate elementele se rânduiesc într-o mişcare giroscopică unitară şi au manifestări similar şi

-        să se raporteze la un singur punct al spaţiului ocupat de structură şi nu la o axă, ca forţa centrifugă, adică să acţioneze de-a lungul vectorului de poziţie r.

Expresia forţei de atracţie a fost obţinută în relaţia (5.78) din [1], sub forma

      (9)

cu caracteristicile:

-        În lungul razei vectoare r, forţa de atracţie descreşte invers proporţional cu distanţa r.

-        În plan vertical, forţa de atracţie este variabilă, ca şi forţa centrifugă analizată mai sus.

Pentru forţa de atracţie, factorul  [r cos + 1]/sin²  este un parametru modulator în plan vertical (în orice plan care conţine axa z), conferindu-i valori minime în zona ecuatorială şi valori care tind către infinit în regiunile polare. În comparaţie cu factorul modulator al forţei centrifuge, egal doar cu        [r cos + 1], factorul modulator al forţei de atracţie e de 1/ sin²  ori mai mare, ceea ce îi asigură o creştere mult mai puternică, de-a lungul evoluţiei de la ecuator spre poli. Acest aspect atestă însă, cu pregnanţă, faptul că gaura circulară din jurul axei z, prin capetele sale din zonele polare, este un puternic aspirator de energie din spaţiul exterior structurii de energie.

Componentele orizontală şi verticală ale forţei de atracţie au efecte diferite: componeta orizontală compensează complet forţa centrifugă, iar componenta verticală, F_ae(z) = F_ae cos(teta), nefiind compensată acţionează asupra elementului de energie al structurii, astfel:

-        Va imprima elementului de energie, aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei z, şi o mişcare în plan vertical, spre planul ecuatorial.

-        Totodată, energia aspirată prin capetele din zonele polare ale găurii circulare din jurul axei z este distribuită în tot spaţiul structurii de energie, până în planul ecuatorial.

Pe baza relaţiilor z = r cos(teta) şi r_z = r sin(teta), relaţia (9) se transcrie în coordinate carteziene sub forma:

      (10)

Pentru lucrul mecanic efectuat de forţa de atracţie, s-a obţinut relaţia (5.87) din [1], adică

       (11)

în care cei doi termeni reprezintă lucrul mecanic efectuat de componentele orizontală şi verticală.

Rotorul forţei de atracţie a fost obţinut sub forma relaţiei (5.97) din [1], adică

  (12)

în care s-a avut în vedere şi egalitatea grad e_g(e) = rot c(e), conform relaţiei (5.58) din [1].

Relaţia (12) arată că rotorul forţei de atracţie este perpendicular pe raza de rotaţie r_z şi  are două componente coliniare:

-        una care nu depinde de coordonata z şi este egală cu opusul rotorului forţei centrifuge (egal la rândul lui cu gradientul energiei giroscopice), şi

-        alta care are valoarea zero în planul ecuatorial (x, y) şi creşte parabolic în funcţie de z, după o curbă de gradul doi.

Ajunşi în acest punct al analizei, să constatăm o particularitate a structurii de energie care constă în faptul că vectorii rotor ai forţelor de atracţie şi centrifugă sânt perpendiculari pe planul (r, r_z) şi au sensuri opuse.

Prin urmare, asupra energiei giroscopice dintr-un punct oarecare din interiorul structurii de energie nu acţionează rotorii forţelor de atracţie şi centrifugă consideraţi în mod separat, ci acţionează un singur rotor rezultat din diferenţa rotorilor celor două forţe, adică

     (13)

care, conform relaţiei (4) şi egalităţii grad e_g(e) = rot c(e), devine

       (14)

Relaţia (14) arată că vectorul rotor rezultant este direct proporţional cu o funcţie de gradul doi a coordonatei z şi invers proporţional cu puterea a patra a razei de rotaţie r_z faţă de axa z. Să mai remarcăm şi faptul că, în planul ecuatorial (x, y), pentru z = 0, vectorul rotorului rezultant este nul, are valoarea zero.

Ajunşi aci, să facem o mică remomerare şi să reamintim că am considerat că gaura din jurul axei z este produsă de valoarea infinită a forţei centrifuge, în vecinătatea axei z. Totodată, pentru a asigura stabilitatea mişcării giroscopice a elementului de energie, în cadrul structurii, am admis că forţa centrifugă a elementului de energie este complet compensată (echilibrată) de componenta orizontală a forţei de atracţie, în tot spaţiul structurii. Această condiţie de stabilitate a mişcării giroscopice în cadrul structurii de energie intră în contradicţie cu existenţa găurii circulare din jurul axei z, produsă de forţa centrifugă. Prin urmare, trebuie identificat alt factor capabil să producă gaura de energie din jurul axei z.

Din analiza executată mai sus, rezultă că un astfel de factor este vectorul rotor rezultant al vectorilor rotor ai forţelor de atracţie şi centrifugă, exprimat prin relaţia (14), şi să mai remarcăm faptul că vectorul rotor rezultant acţionează asupra energiei giroscopice e_g(e) care deja se află în mişcare circulară în jurul axei z.

Conform relaţiei (2.2.42) demonstrată în subcapitolul 2.2, paragraful 2.2.5 din [1], rotorul rezultant rot (F_ae, F_ce) reprezintă rotorul unei viteze de rotaţie liniare în planul perpendicular, planul meridian (r, r_z), adică

 (15)

unde   şi  reprezintă vitezele de rotaţie liniară şi unghiulară, în planul meridian (r,r_z).

Modulele vitezelor de rotaţie liniară şi unghiulară sânt legate prin relaţia

      (16)

unde r_m este raza mişcării de rotaţie în planul meridian (r, r_z).

Mişcarea circulară din planul meridian (r, r_z) produce o forţă centrifugă, modulul căreia, conform relaţiilor (2), (14), (15) şi (16) este dat de relaţia

  (17)

Cum viteza de rotaţie liniară este constantă, modulul forţei centrifuge este

-        direct proporţional cu energia giroscopică (et) şi cu funcţia de gradul doi z(z+1) şi

-        invers proporţional cu cubul razei r_z de rotaţie în jurul axei z.

Aceste proporţionalităţi conferă forţei centrifuge manifestată în planul (r, r_z), următoarele caracteristici:

-        în vecinătatea axei z, valoarea forţei tinde către infinit (r_z tinde la 0 rezultă F_{c(r, rz)} tinde la infinit);

-        în plan meridional, creşte odată cu creşterea coordonatei z, proporţional cu funcţia z(z+1);

-        este o forţă care se manifestă puternic doar în vecinătatea şi apropierea axei z, este o forţă de acţiune apropiată, nu îndepărtată.

Prin urmare, forţa centrifugă , manifestată în planul (r, r_z), este forţa care generează gaura circulară din jurul axei z, printr-un mecanism evident şi relativ simplu.

Să admitem că energia giroscopică e_g(e) se află pe raza r_z, la coordonata z şi la distanţa r_z de axa z. Concomitent cu mişcarea sa circulară orizontală, în plan paralel cu ecuatorul (x, y) şi situat la cota z, corespunzătoare vectorului grad e_g(e), (a se vedea paragraful 5.3 din [1]), energia giroscopică e_g(e) este supusă şi mişcării circulare în planul (r, r_z), de către vectorul rotorul rezultant rot (F_ae, F_ce), conform raţionamentului de mai sus.

Deci, în preajma axei z, energia giroscopică este supusă simultan la două mişcări de rotaţie circulare, în planuri ortogonale: una în planul orizontal, în jurul axei z, şi una în planul vertical, în jurul unei axe proprii.

Forţa centrifugă produsă de mişcarea circulară din planul orizontal, planul paralel cu planul ecuatorial (x, y), este anihilată de componenta orizontală a forţei de atracţie, (a se vedea paragraful 5.6.1 din [1]).

În schimb, forţa centrifugă produsă de mişcarea circulară din planul (r, r_z) nu este anihilată şi, împreună cu viteza de rotaţie liniară în planul meridian  , imprimă energiei giroscopice e_g(e), o mişcare direcţionată în sus (spre creşterea coordonatei z) şi spre exteriorul structurii de energie, adică în sensul îndepărtării de axa z, figura 5.5, a) din capitolul 5 din [1], reluată ca figura 1, a).

Odată cu deplasarea în sus, creşterea coordonatei z produce creşterea forţei centrifuge, relaţia (17), corespunzătoare creşterii funcţiei z(z + 1).

Creşterea forţei centrifuge împinge energia giroscopică e_g(e) mai sus, spre o crştere şi mai mare, şi mai spre exterior, îndepărtând-o tot mai mult de axa z. Această mişcare spre sus şi spre exterior se aplică, simultan, tuturor energiilor giroscopice aflate în vecinătatea axei z, în funcţie de poziţiile lor (în funcţie de z şi de r_z), şi rezultatul acestor mişcări simultane este crearea unui front de mişcare dinspre axa z. 

Prin creşterea distanţei faţă de axa z, creşterea lui r_z, forţa centrifugă scade puternic, invers proporţional cu cubul acesteia, relaţia (17), astfel că, la o anumită distanţă, îndepărtarea energiei giroscopice e_g(e) de axa z se opreşte. Astfel, se obţine un spaţiu în jurul axei z, în care nu se află energie giroscopică, deoarece toată energia a fost împinsă în afara acestuia.

Acest spaţiu are o formă circulară, cu raza crescătoare odată cu creşterea coordonatei z, creştere corespunzătoare funcţiei z(z + 1).

Cum fenomenul se produce asemănător şi simetric de-a lungul axei z, atât pentru z > 0 cât şi pentru z < 0, gaura din jurul axei z are forma de clepsidră, ca în figura 1, b). Gaura din jurul axei z este mărginită de o parabolă de rotaţie în jurul axei z, în plan vertical, iar în planul ecuatorial, z = 0, are un mic orificiu, în jurul axei z. 

 Figura 1.  Gaura circulară din jurul axei z

a) Vectorii care o produc. b) Forma de clepsidră.

Datorită caracterului cumulativ al energiei giroscopice e_g(e), raza r_zc a găurii în formă de clepsidră, din jurul axei z, se modifică continuu, corespunzător cu evoluţia structurii de energie.

Mai trebuie menţionat faptul că, în afara găurii în formă de clepsidră din jurul axei z, acţiunea vectorului rotorului rezultant rot (F_ae, F_ce) se micşorează treptat şi contribuie la configurarea formei structurii de energie.

În spaţiul din apropierea găurii în formă de clepsidră, dar în exteriorul acesteia, acţiunea vectorului rotorul rezultant rot (F_ae, F_ce) se opune acţiunii componentei verticale a forţei de atracţie şi împiedică migrarea energiei spre planul ecuatorial, menţinând forma aproximativ sferică a structurii de energie.

În spaţiul mai îndepărtat de gaura în formă de clepsidră, acţiunea vectorului rotorul rezultant rot (F_ae, F_ce) se micşorează treptat, invers proporţional cu cubul razei r_z, astfel că, treptat, migraţia energiei spre planul ecuatorial, sub acţiunea componentei verticale a forţei de atracţie, nu mai este stânjenită şi forma structurii de energie se contractă spre planul ecuatorial.

Aşa se explică forma aproape sferică din partea centrală a structurii de energie şi forma din ce în ce mai aplatizată spre periferie.

La o distanţă suficient de mare de gaura în formă de clepsidră, acţiunea vectorului rotorul rezultant rot (F_ae, F_ce) se micşorează considerabil şi, treptat, devine nesemnificativă, astfel că, în restul spaţiului structurii de energie, energia giroscopică are o mişcare aparent stabilă, compusă din două mişcări distincte: o mişcare circulară de rază r_z, sub influenţa forţei centrifuge şi componentei orizontale a forţei de atracţie şi o mişcare de migraţie din zonele polare către zona ecuatorială, sub influenţa componentei verticale a forţei de atracţie.

Iată cum, în stadiul de iniţiere a mişcării de rotaţie a energiei, forţa centrifugă este cea care produce gaura centrală lipsită de energie, iar pe măsură ce mişcarea de rotaţie a energiei se consolidează, sub acţiunea forţei de atracţie pe care energia structurii rotitoare o exercită asupra energiei giroscopice a elementului e de energie, relaţia (10), întreaga structură de energie rotitoare se stabilizează, în partea ei centrală şi de-a lungul axei de rotaţie se formează o gaură lipsită de energie şi în formă de clepsidră, care devine un puternic aspirator de energie din câmpul de energie înconjurător, energie care asigură stabilitatea şi evoluţia structurii. De raportul dintre energia aspirată şi energia eliminată depind atât stabilitatea cât şi evoluţia structurii rotitoare de energie.

Tot referitor la forţa de atracţie a structurii de energie să mai arătăm că, deşi are rotorul  diferit de zero, are un câmp cvasipotenţial care poate fi descris cu ajutorul unui factor integrator.

În subparagraful 5.6.5 din capitolul 5 din [1], s-a demonstrat că potenţialul forţei de atracţie a unei structuri de energie este exprimat de relaţia (5.141), adică

    (18)

Condiţia U(r) = const. implică condiţiile

    (19)

care trebuie îndeplinite simultan. Îndeplinirea simultană a condiţiilor (19) este echivalentă condiţiei

        (20)

şi reprezintă cercuri concentrice în jurul axei z, dispuse paralel cu planul ecuatorial (x, y).

În plan orizontal, paralel cu planul ecuatorial (x, y), linia echipotenţială are forma unui cerc în jurul axei z, dispus la distanţa r_z = const. de axă, şi situat la cota fixă z = const.

În spaţiu însă, suprafaţa echipotenţială nu are forma sferică, cum am fi tentaţi să credem, ci este o suprafaţă degenerată de la suprafaţa sferică.

În fine, să mai arătăm că în analiza structurii de energie cu mişcare giroscopică, s-au obţinut două expresii ca funcţii ale punctului în care se află elementul de energie e:

-        Potenţialul scalar al gradientului funcţiei scalare a unghiului polar , exprimat prin relaţia           V = - e, relaţia (5.20) din [1], care reprezintă energia consumată prin rotaţia elementului de energie cu unghiul (fi).

-        Energia giroscopică a elementului de energie e proprie mişcării giroscopice de unghi  şi exprimată prin relaţia e_g(e) = e, relaţia (3).

Expresiile celor două funcţii ale punctului, V şi e_g(e), reprezintă ecuaţiile celor două ramuri ale spiralei lui Arhimede. Acest fapt nu înseamnă că elementul de energie execută o mişcare de forma spiralei lui Arhimede, ci însemnă că elementului de energie care execută o mişcare giroscopică în jurul axei z, supus simultan forţelor de atracţie şi centrifugă, îi corespund, de-a lungul mişcării giroscopice, valori ale potenţialului scalar şi ale energiei giroscopice, corespunzătoare celor două ramuri ale spiralei lui Arhimede, pentru unghiul de rotaţie  parcurs.

În finalul capitolului 5 din [1], este analizată şi formara şi evoluţia structurii de energie cu mişcare giroscopică.

Bibliografia:

1  CONSTANTIN TEODORESCU: Structură şi evoluţie. Editura MATRIX ROM.

    Bucureşti 2015. Ediţia a 5 - a revizuită şi adăugită. Existentă la Biblioteca Naţională, la Biblioteca  
    Centrală Universitară Carol I şi la Biblioteca Centrală a Universităţii Politehnica Bucureşti.